Гандболист Александр Тучкин родился во Львове в семье военнослужащего. Начал заниматься гандболом достаточно поздно – в 17 лет, когда отец привёл его к тренеру минского СКА Спартаку Мироновичу. В 1985 году Тучкин в составе молодёжной сборной СССР стал победителем чемпионата мира и через год вошёл в состав главной команды страны.
В 1988 году на летних Олимпийских играх в Сеуле выиграл первую в карьере золотую олимпийскую медаль. Выступая за минский СКА, Тучкин четыре раза становился чемпионом СССР и трижды побеждал в Кубке чемпионов.
После чемпионата мира 1990 года, выиграв со сборной СССР серебряную медаль и став лучшим бомбардиром турнира, Александр уехал играть в немецкую бундеслигу. Травмы не позволили ему выступить на Олимпийских играх в Барселоне в 1992 году.
После распада СССР Тучкин регулярно оказывался в расположении сборной Беларуси, но в 1995 году выступил за неё последний раз, а в конце 1998 года принял российское гражданство и продолжил выступлении в составе команды России.
В двух подряд финалах международных турниров — чемпионата мира 1999 года в Египте и чемпионата Европы 2000 года в Хорватии – сборная России всего один мяч проиграла команде Швеции. Но в 2000 году на Олимпийских играх в Сиднее в решающем поединке оказалась сильнее Шведов, чему способствовала блестящая игра Александра Тучкина, ставшего самым результативным игроком финала (7 мячей).
После Олимпиады в Сиднее Александр играл в чемпионатах Испании и Греции, в составе команды «Филиппос» из Верии стал финалистом Кубка вызова 2002–2003 гг.
В 2004 году на Олимпийских играх в Афинах завоевал бронзовую медаль. После игр в Афинах выступал за немецкие команды низших лиг.
По окончании спортивной карьеры, продолжавшейся более 20 лет, заслуженный мастер спорта Александр Тучкин занимал пост первого вице-президента Московской федерации гандбола, работал комментатором на телеканале «Спорт».
С 2009 по февраль 2014 года был президентом гандбольного клуба «Пермские медведи».